桁架的求解方法有哪些（桁架優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原則）

安順加固改造設(shè)計(jì)公司 1周前 ( 12-23 17:10 ) 1 搶沙發(fā)

桁架是一種重要的工程結(jié)構(gòu)，其求解方法包括解析法、有限元法和優(yōu)化設(shè)計(jì)。解析法通過建立數(shù)學(xué)模型來求解，而有限元法則利用計(jì)算機(jī)模擬來實(shí)現(xiàn)。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，主要目標(biāo)是最小化或最大化某種性能指標(biāo)，如重量、成本或剛度等。桁架的優(yōu)化設(shè)計(jì)還需要考慮材料屬性、幾何形狀以及載荷條件等因素。

桁架求解方法

一、結(jié)點(diǎn)法

基本原理
- 取桁架中的某一結(jié)點(diǎn)為隔離體，由于結(jié)點(diǎn)上的外力與桿件內(nèi)力組成一平面匯交力系，根據(jù)平面匯交力系的平衡條件 $\sum F_{x}=0$ $\sum F_{x} = 0$ ， $\sum F_{y}=0$ $\sum F_{y} = 0$ 來求解桿件內(nèi)力。一般情況下，該結(jié)點(diǎn)上的未知力數(shù)目不宜超過兩個，否則需要解聯(lián)立方程。這種方法適用于計(jì)算簡單桁架，計(jì)算順序可按幾何組成的相反次序進(jìn)行，即從最后一個二元體開始計(jì)算。桁架桿件內(nèi)力的符號規(guī)定為：軸力以使截面受拉為正，受壓為負(fù)，在取隔離體時，軸力均先假設(shè)為正（即軸力方向用離開結(jié)點(diǎn)表示），計(jì)算結(jié)果為正，則為拉力；反之，則為壓力。另外，桁架中常有一些特殊形式的結(jié)點(diǎn)，利用這些特殊結(jié)點(diǎn)的平衡條件，可使計(jì)算大為簡化。例如：
  - L型結(jié)點(diǎn)：不在一直線上的兩桿結(jié)點(diǎn)，當(dāng)結(jié)點(diǎn)不受外力時，兩桿均為零桿；若其中一桿與外力 $F$ 共線，則此桿內(nèi)力與外力 $F$ 相等，另一桿為零桿。
  - T型結(jié)點(diǎn)：兩桿在同一直線上的三桿結(jié)點(diǎn)，當(dāng)結(jié)點(diǎn)不受外力時，第三桿為零桿；若外力 $F$ 與第三桿共線，則第三桿內(nèi)力等于外力 $F$ 。
  - X型結(jié)點(diǎn)：四桿結(jié)點(diǎn)兩兩共線，當(dāng)結(jié)點(diǎn)不受外力時，則共線的兩桿內(nèi)力相等且符號相同。
  - K型結(jié)點(diǎn)：這也是四桿結(jié)點(diǎn)，其中兩桿共線，另兩桿在該直線同側(cè)且與直線夾角相等，當(dāng)結(jié)點(diǎn)不受外力時，則非共線的兩桿內(nèi)力大小相等但符號相反。
- 以上結(jié)論，均可取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)由投影方程得出。應(yīng)用這些結(jié)論可判定出結(jié)構(gòu)中的零桿，從而簡化計(jì)算過程。
計(jì)算步驟
- 首先求桁架的支座反力。
- 然后按照幾何組成的相反順序選取結(jié)點(diǎn)，每次選取的結(jié)點(diǎn)未知力不超過兩個。
- 對選取的結(jié)點(diǎn)建立平面匯交力系的平衡方程 $\sum F_{x}=0$ ， $\sum F_{y}=0$ ，求解桿件內(nèi)力。

二、截面法

基本原理
- 截取桁架中的一部分（包含兩個及以上的結(jié)點(diǎn)）為隔離體，根據(jù)隔離體的平衡條件（ $\sum F_{x}=0$ ， $\sum F_{y}=0$ ， $\sum M = 0$ ）求解各桿的軸力。截面法適用于求桁架中某些指定桿件的內(nèi)力，尤其是當(dāng)這些桿件內(nèi)力不能用結(jié)點(diǎn)法方便求出時。
計(jì)算步驟
- 先求出桁架的支座反力。
- 用一個合適的截面（可以是平面或曲面）截取桁架，使要求內(nèi)力的桿件被截?cái)?，而隔離體上的未知力個數(shù)不超過三個（一般利用 $\sum F_{x}=0$ ， $\sum F_{y}=0$ ， $\sum M = 0$ 三個平衡方程求解）。
- 對截取的隔離體建立平衡方程求解桿件內(nèi)力。

三、結(jié)點(diǎn)法與截面法的聯(lián)合應(yīng)用

基本思路
- 在一些復(fù)雜的桁架結(jié)構(gòu)中，單獨(dú)使用結(jié)點(diǎn)法或截面法可能無法有效求解桿件內(nèi)力，此時可以將結(jié)點(diǎn)法和截面法聯(lián)合使用。例如，先用截面法求出部分桿件內(nèi)力，再用結(jié)點(diǎn)法求解其他桿件內(nèi)力；或者先利用結(jié)點(diǎn)法的特殊結(jié)點(diǎn)判斷求出一些桿件內(nèi)力或確定零桿，然后再用截面法求解剩余桿件內(nèi)力等。
應(yīng)用示例
- 對于某些聯(lián)合桁架（由幾個簡單桁架按幾何不變體系的簡單組成規(guī)則聯(lián)合組成的桁架），可以先通過截面法將其分解為幾個簡單桁架，再對每個簡單桁架分別使用結(jié)點(diǎn)法進(jìn)行內(nèi)力計(jì)算。

四、利用對稱性求解

對稱桁架的特點(diǎn)
- 如果桁架的幾何形狀、桿件的截面尺寸和材料性質(zhì)以及荷載都關(guān)于某一軸對稱，則該桁架為對稱桁架。在對稱桁架中，對稱桿件的內(nèi)力在對稱荷載作用下具有一定的對稱關(guān)系（內(nèi)力大小相等，符號相同或相反），在反對稱荷載作用下也有相應(yīng)的關(guān)系。
計(jì)算方法
- 根據(jù)荷載的對稱性或反對稱性，將荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載兩部分。分別計(jì)算在對稱荷載和反對稱荷載作用下的桿件內(nèi)力，然后疊加得到原荷載作用下的桿件內(nèi)力。在對稱荷載作用下，反對稱內(nèi)力（如在對稱軸上的反對稱桿件的內(nèi)力）為零；在反對稱荷載作用下，對稱內(nèi)力為零。這樣可以減少計(jì)算工作量。